В первой половине третьего тома «Математического анализа» рассматривается теория тригонометрических рядов Фурье:
сначала изучается их поточечная сходимость и сходимость в среднем, а затем классическая теория преобразования Фурье
абсолютно интегрируемых функций. Изложена также теория интегралов, зависящих от параметра (собственных и несобственных), и рассматривается вопрос о вычислении определенных интегралов с помощью дифференцирования и интегрирования интегралов по параметру.
Во второй половине этого тома изучаются некоторые вопросы теории метрических, нормированных, гильбертовых пространств и пространств обобщенных функций, идейно связанные с задачами классического анализа. Установлен, в частности, ряд свойств отображений метрических пространств, обобщающих свойства числовых функций, получена формула Тейлора для отображений нормированных пространств, изложены основы теории разложений элементов гильбертовых пространств в ряды Фурье по ортогональным системам и дана теория преобразования Фурье обобщенных функций.
В конце тома имеется «Дополнение», посвященное некоторым вопросам численных методов анализа (приближенное вычисление значений функции, ее производной и интеграла от нее, приближенное решение уравнений) и теория предела отображения по фильтру, которая включает в себя как частный случай пределы, изучавшиеся ранее.
