Необходимые и достаточные условия наличия локального экстремума

Необходимое условие экстремума

Если точка $x_0$ является точкой экстремума функции $f(x)$ , то в этой точке либо производная равна нулю, либо не существует.

Экстремумы функции содержатся среди критических точек функции (точки, в которых производная функции $f(x)$ равна нулю или не существует).

Доказательство необходимого условия экстремума следует из теоремы Ферма.

Достаточные условия экстремума

Если производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку $x_0$ , слева направо, то точка $x_0$ является точкой строгого минимума
Пусть в точке $x_0$ первая производная равна нулю: $f(x_0) = 0$ , т.е. точка $x_0$ является стационарной точкой функции $f(x)$ . Пусть также в этой точке существует вторая производная $f''(x_0)$ . Тогда:
— Если $f''(x_0) > 0$ , то $x_0$ является точкой строгого минимума функции $f(x)$ ;
— Если $f''(x_0) < 0$ , то $x_0$ является точкой строгого максимума функции $f(x)$ ;
Пусть функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производные до n-го порядка включительно. Тогда, если $f'(x_0) = f''(x_0) = ... = f(n-1)(x_0) = 0$ и $f(n)(x_0) \neq 0$ , то при четном n точка $x_0$ является точкой строгого минимума, если $f(n)(x_0) > 0$ , и точкой строгого максимума, если $f(n)(x_0) > 0$ .
При нечетном n экстремума в точке $x_0$ не существует.