Необходимое условие экстремума
Если точка является точкой экстремума функции
, то в этой точке либо производная равна нулю, либо не существует.
Экстремумы функции содержатся среди критических точек функции (точки, в которых производная функции равна нулю или не существует).
Доказательство необходимого условия экстремума следует из теоремы Ферма.
Достаточные условия экстремума
- Если производная
меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку
, слева направо, то точка
является точкой строгого минимума
- Пусть в точке
первая производная равна нулю:
, т.е. точка
является стационарной точкой функции
. Пусть также в этой точке существует вторая производная
. Тогда:
— Если, то
является точкой строгого минимума функции
;
— Если, то
является точкой строгого максимума функции
;
- Пусть функция
имеет в точке
производные до n-го порядка включительно. Тогда, если
и
, то при четном n точка
является точкой строгого минимума, если
, и точкой строгого максимума, если
.
При нечетном n экстремума в точкене существует.
Таким не хитрым образом мы разобрались с «необходимые и достаточные условия наличия локального экстремума»!